Quando o Google procura por cadeias tróficas

Se você um dia se deparar com um ecólogo e lhe perguntar “Qual a característica mais interessante em ser um ecólogo?”, é bem provável que a resposta que você receba seja: “o contato com a natureza”. Mas se você fizer esta mesma pergunta para mim, a resposta seria bem diferente. Isso não quer dizer que eu não ache o contato com a natureza uma característica importante, pelo contrário, mas como dizia o grande Edward O. Wilson: ‘na ciência, diferentemente da guerra, você deve marchar para longe dos sons das armas e não ao encontro delas‘.

A minha forma de fazer ecologia hoje, ou pelo menos parte dela, se consolidou ao longo do meu doutorado no Laboratório de Limnologia de 2008 a 2012.  Dentre os diversos temas de pesquisa abordados no laboratório, o meu tema de pesquisa se focava no comportamento animal, principalmente no comportamento de forrageamento entre predadores e presas. Meu trabalho era basicamente teórico e envolvia a construção de simulações computacionais ( ou como alguns gostam de chamar, os famosos experimentos in-silico) que buscavam entender as consequências ecológicas do trade-off entre forrageamento e risco de predação. Basicamente esses modelos eram solucionados a partir de diferentes algoritmos de otimização programados em linguagem C ou C++. E se hoje alguém me perguntar qual a característica mais intrigante das ciências da computação eu responderia sem sombra de dúvidas que seriam os algoritmos.

Basicamente um algoritmo é um cálculo baseado em um conjunto de instruções passo-a-passo. Mas qual a graça de um algoritmo? Problemas que poderiam levar anos para que alguém encontrasse a resposta, poderiam ser resolvidos em segundos através de um algoritmo. Bem, pense no seguinte exemplo, imagine que você queira procurar uma página na internet que contenha algo sobre “Cadeias Tróficas”. Você poderia ir de página em página na internet (14 bilhões) e procurar se em alguma delas o termo “Cadeias Tróficas” aparece. Quanto tempo isso levaria? Possivelmente anos, o que tornaria impraticável a busca pela internet. No entanto, em vez de procurar página por página, você pode procurar apenas em páginas mais importantes, fazendo um rank de todas as páginas na internet. Isso é exatamente o que o Google faz quando usa seu sistema de busca, e é exatamente o algoritmo utilizado para o ranqueamento que permite que buscas na internet sejam possíveis e plausíveis.

Basicamente o algoritmo de ranqueamento do Google funciona da seguinte forma: A internet é uma rede direcionada na qual as páginas (ou nós) estão conectadas umas as outras por links. Nós podemos escrever uma matriz “A” onde a presença ou ausência de um link da página-linha i para a página-coluna j como entradas contendo 1 ou zero.  O algoritmo de ranqueamento do Google, conhecido como PageRank (em função do seu criador e co-fundador do Google, Larry Page) designa uma página como importante se ela recebe links de uma página também importante, e soluciona esse problema recursivo através de álgebra linear. Assim, cada página recebe um escore de importância e cada link para outra página (que aqui vamos designar de aij como em uma notação de matriz) contém um escore similar e proporcional a este valor de importância. A importância da página é obtida pelo somatório dos scores designados pelos links que chegam nela. O problema de recorrência  (a página  mais importante é quem recebe links de quem é também importante)  é resolvido construindo-se uma nova matriz  “S”, em que cada elemento representa a fração da importância designada a cada link, ou seja:

$latex s_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a^{_{ij}}}$

(i e j representam linhas e colunas em notação de matriz respectivamente)

Os escores das páginas mais importantes são dadas pelos valores do autovetor do autovalor dominante desta nova matriz. No entanto essa técnica só pode ser empregada se a matriz “S” for irredutível e primitiva, o que não acontece na grande maioria dos casos. Por isso é necessário modificar o cálculo de ranqueamento incorporando um fator chamado “damping factor”. Esse fator, em linhas gerais, representa quando alguém salta de uma página na internet para uma outra, não através de um link, mas sim de forma aleatória (digitando um endereço na barra de endereços por exemplo). O cálculo do PageRank pode ser feito de forma iterativa, de forma parecida com o método descrito ao final deste texto.

E o que Ecologia tem a ver com isso? Bem, uma cadeia trófica também é uma rede, que pode ser representada por nós e links. Os nós seriam as espécies e os links seriam as relações alimentares, ou seja, quem se alimenta de quem. Essa forma de visualizar uma cadeia trófica tem sido amplamente utilizada na ecologia. Para sua sobrevivência, as espécies precisam ser capazes de receber energia e matéria de produtores primários através de algum caminho por esta rede. Será que o algoritmo de ranqueamento do Google poderia ser utilizado numa cadeia trófica pra dizer que espécie é então a mais importante? Neste caso algumas modificações precisariam ser consideradas. Primeiro, em função do funcionamento de cadeias tróficas, uma espécie importante seria aquela que serve de alimento para outras espécies que também são importantes. Ou seja, seria diferente de uma página na internet, que é importante pois é apontada por páginas também importantes, enquanto uma espécie seria importante pois ela aponta para espécies também importantes. Outro fator importante é que uma matriz descrevendo os links entre espécies precisa ser irredutível e primitiva. No caso de cadeias tróficas o “damping factor” não pode ser utilizado para resolver este problema, pois a matéria não pula de forma aleatória entre os nós de uma cadeia trófica, ela precisa necessariamente seguir os caminhos estabelecidos pelas relações alimentares.

Uma solução para esse aparente problema é fazer com que todas as espécies estejam conectadas a um único nó. Biologicamente isso é bastante plausível, pois se estamos falando da ciclagem de matéria, esse nó poderia ser considerado a via de detritos ou o ooze proposto por Raymond Lindeman em seu clássico trabalho sobre eficiência de transferência de energia nas cadeias alimentares. Com essas modificações podemos então usar o algoritmo PageRank e calcular a importância das espécies em uma cadeia trófica em função da sua topologia, ou seja, em função da conectância que as espécies têm umas com as outras.

Consideremos as seguintes matrizes M1 e M2,

A matriz M1 representa uma cadeia trófica simples e linear, enquanto a matriz M2 representa uma cadeia com a presença de um predador onívoro que se alimenta tanto do consumidor quanto do produtor primário. Na verdade, apenas um link difere a topologia das duas cadeias (A serve de alimento para C, o predador onívoro). Mas qual seria o efeito deste novo link na importância das espécies? Isso pode ser respondido pelo nosso algorítimo PageRank modificado.

Ao aplicarmos o algoritmo PageRank a partir de um algorítimo implementado para MATLAB (o código fonte está no final deste post) , temos os seguintes valores de rank, ou importância:

RankM1 = [A = 0.333, B =0.222, C=0.1111, D=0.333] -> Cadeia com Predador Normal

RankM2  =  [A=0.3529, B=0.1764, C=0.1177, D=0.3529] -> Cadeia com Predador Onívoro

Mesmo que a ordem de importância não tenha se alterado, esses resultados mostram que a magnitude de importância do predador aumenta com a onivoria, mesmo que marginalmente, juntamente com uma redução da importância do consumidor primário. Bem, o que então o nosso valor de importância quer realmente dizer. A rede trófica aqui esquematizada, em última análise, pode ser descrita como uma cadeia de Markov, onde cada espécie apresenta uma probabilidade de transição para outro estado (outra espécie). Segundo a teoria de Markov os valores do PageRank nos dariam a probabilidade de uma unidade de biomassa sair de determinado nó (i.e. espécie) depois de um número suficientes de “eventos de predação”. Desta forma, nossa modificação na montagem do algoritmo (principalmente em relação a montagem da matriz)  faz com que o valor de importância dado pelo algoritmo PageRank se traduza no valor proporcional ao fluxo de biomassa que passaria por cada nível trófico. Em outras palavras, se cada nível trófico nessas cadeias pudesse ser expresso por equações diferenciais, que descrevem a dinâmica de cada espécie, em equilíbrio, a quantidade do fluxo de biomassa entrando e saindo de cada espécie seria proporcional ao valores de RankM1 e RankM2. Isso só seria possível se assumirmos que todas as presas fornecem a mesma quantidade de nutrientes. Desta forma o algoritmo PageRank poderia ser utilizado como um modelo nulo dos efeitos da configuração da teia trófica na biomassa de níveis tróficos, se assumirmos que as espécies apresentam coeficientes de interação iguais e ciclos de vida semelhantes. Em outras palavras, poderíamos abstrair todos os outros parâmetros relevantes para a dinâmica de níveis tróficos e avaliar apenas o efeito da configuração da teia trófica.

Mas o que se ganha com isso? Resultados similares a estes apresentados poderiam ser obtidos com o uso de um conjunto de equações diferenciais descrevendo a dinâmica de cada nível trófico. Mas como fazer para o caso em que tenhamos 20 ou 30 espécies. Utilizar 20 ou 30 equações diferenciais seria matematicamente impraticável.

No entanto, utilizar o algoritmo aqui descrito para 20 ou 30 nós não é problema algum uma vez que ele é capaz de lidar com até milhões de nós de forma extremamente eficiente ao ser empregado em buscas na internet. Desta forma, podemos utilizar o algoritmo do Google para predizer a distribuição da biomassa em teias trófica com muitas espécies e avaliar como essa distribuição se altera em função da configuração da teia, com diferentes intensidades de generalismo e onivoria por exemplo. É nisso que tenho dedicado parte do meu tempo nos últimos meses. Isso poderia ser importante pra predizer como níveis tróficos de topo de cadeias extremamente complexas, como aquelas observadas em ambientes aquáticos, são afetadas pela extinção de espécies na base destas cadeias.  Isso seria impraticável com o uso tradicional de equações diferenciais, mas é facilmente obtido com o uso do algoritmo de ranqueamento do Google.

Este simples exemplo mostra como avanços científicos em determinadas áreas da ciência podem ser empregados na construção do conhecimento ecológico. Qual é a característica mais interessante em ser ecólogo? Bem, pra mim é a capacidade de trabalhar com biologia, matemática e computação (e em alguns casos também com física, química…) ao mesmo tempo e com um objetivo comum: entender os fatores que afetam a abundância e distribuição de espécies no nosso planeta.

Qualquer dúvida ou comentário é só escrever aqui em baixo.

Código fonte para MATLAB para o cálculo do PageRank (sem o “damping factor”), calcule a importância das suas espécies para sua própria cadeia:

% início do código
% Parametro c, fator de convergência
% M matriz simples sem onivoria modificada para que o somatório Mj =1
 

 M = [0 1 0 1/3 ; 0 0 1 1/3  ; 0 0 0 1/3  ; 1 0 0 0 ];
T = size(M, 2);

c=0.0001

rankp = rand(T, 1);
rankp = rankp ./ norm(rankp, 1);
rankf = ones(T, 1) * inf;
S = M  .* ones(T, T);
 
while(norm(rankp – rankf, 1) > c)
        rankf = rankp;
        rankp = S * rankp;
        rankp = rankp ./ norm(rankp, 1);
end

rankp

% fim do código